Aproximacion del Área Bajo la Curva por Extremos Derechos e Izquierdos

Enseguida, graficaremos una función en un intervalo [a,b] y se mostrará el área contenida entre su gráfica y el eje x en el intervalo dado. Observa la siguiente gráfica.

f(x)= x2 + 1

en el intervalo cerrado [1,5]

Igual que con el problema de la tangente, empezaremos por hacer aproximaciones. Aproximaremos el área bajo la curva con el área de ciertos rectángulos.
Observa las siguientes gráficas:

Como pudiste ver en las gráficas anteriores, con los primeros rectángulos estamos sobreestimando el valor del área y con los segundos rectángulos la estamos subestimando.
A continuación calcularemos aproximaciones cada vez mejores, tomando cada vez más y más rectángulos.
Observa la siguiente animacion.

El valor exacto del área es:

Área = 136/3aprox. igual 45.3333

Los resultados anteriores parecen indicar que conforme el número n de rectángulos crece, (n), el valor del área de los rectángulos tanto por la izquierda como por la derecha se acercan a un mismo número. Vamos a cuantificar y a formalizar las ideas expuestas anteriormente.

Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a,b], para encontrar el área bajo la curva procedemos como sigue:
Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno de los n rectángulos.
En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* y entonces f(x*) es la altura del rectángulo en ese subintervalo.
Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de los n rectángulos es entonces:

n
[ f(x*)( x)]
k=1