martes, 16 de junio de 2009
Contruccion del Concepto Area Bajo la Curva
El concepto de área lo hemos manejado ampliamente en cursos básicos, de hecho para las figuras geométricas como el rectángulo el cálculo de su área se define como el producto de su base por su altura, del mismo modo para calcular el área de un triángulo multiplicamos su base por su altura y al resultado lo dividimos entre dos. Para calcular el área de cualquier polígono (regular e irregular) solo debemos triangular (construir triángulos en su área), calcular el área de cada uno de ellos y sumarlas...En todas las situaciones anteriores el proceso para el cálculo del área es relativamente simple, sin embargo cuando tenemos una figura como la siguiente en la cual uno o varios de sus lados que limitan la región en la cual queremos calcular el área son curvas, no tenemos un proceso claro.La gráfica corresponde a la funciónPor lo tanto debemos proponer intuitivamente un proceso similar a la triangulación (explicada en el primer párrafo de este artículo), es decir, vamos a "rectangular" el área... Este método consiste en trazar varios rectángulos que aproximen el área de la región deseada, esto lo podemos ver en las siguientes gráfica...En ambas gráficas podemos ver que el área calculada va a tener pequeños márgenes de error, en la primera (rectángulos amarillos) vemos que estamos calculando un área mayor mientras que en la segunda (rectángulos verdes) calculamos un área menor...En ambas situaciones podemos identificar que la base de todos los rectángulos es de 0.25 unidades mientras que la altura es fácil de obtener usando un simple evaluación de funciones:De esta manera podemos proponer la siguiente tabla para el área aproximada de los rectángulos verdes y de los rectángulos amarillos.Los resultados anteriores nos van conduciendo cada vez más a poder determinar con precisión el valor del área, el Cálculo nos brinda el concepto del límite, el cual nos puede ser de mucha ayuda para poder determinar con total exactitud el área bajo la curva...El proceso que hemos seguido es calcular las áreas de todos y cada uno de los rectángulos trazados por tanto podemos afirmar que una buena aproximación del área bajo la curva está dada por la expresiónDonde Ar es la suma de todas las áreas de los rectángulos, "delta x" es la base del rectángulo y f(xn) es la altura.
Aproximacion del Área Bajo la Curva por Extremos Derechos e Izquierdos
Enseguida, graficaremos una función en un intervalo [a,b] y se mostrará el área contenida entre su gráfica y el eje x en el intervalo dado. Observa la siguiente gráfica.
f(x)= x2 + 1
en el intervalo cerrado [1,5]
Igual que con el problema de la tangente, empezaremos por hacer aproximaciones. Aproximaremos el área bajo la curva con el área de ciertos rectángulos.
Observa las siguientes gráficas:
Observa las siguientes gráficas:
Como pudiste ver en las gráficas anteriores, con los primeros rectángulos estamos sobreestimando el valor del área y con los segundos rectángulos la estamos subestimando.
A continuación calcularemos aproximaciones cada vez mejores, tomando cada vez más y más rectángulos.
Observa la siguiente animacion.
A continuación calcularemos aproximaciones cada vez mejores, tomando cada vez más y más rectángulos.
Observa la siguiente animacion.
El valor exacto del área es:
Área = 136/3aprox. igual 45.3333
Los resultados anteriores parecen indicar que conforme el número n de rectángulos crece, (n), el valor del área de los rectángulos tanto por la izquierda como por la derecha se acercan a un mismo número. Vamos a cuantificar y a formalizar las ideas expuestas anteriormente.
Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a,b], para encontrar el área bajo la curva procedemos como sigue:
Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno de los n rectángulos.
En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* y entonces f(x*) es la altura del rectángulo en ese subintervalo.
Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de los n rectángulos es entonces:
Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno de los n rectángulos.
En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* y entonces f(x*) es la altura del rectángulo en ese subintervalo.
Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de los n rectángulos es entonces:
n
[ f(x*)( 
x)]
k=1
[ f(x*)( 
x)]k=1
Solucion de Situaciones de Distancia Apartir de la Velocidad como Área Bajo la Curva
El concepto de área lo hemos manejado ampliamente en cursos básicos, de hecho para las figuras geométricas como el rectángulo el cálculo de su área se define como el producto de su base por su altura, del mismo modo para calcular el área de un triángulo multiplicamos su base por su altura y al resultado lo dividimos entre dos. Para calcular el área de cualquier polígono (regular e
irregular) solo debemos triangular (construir triángulos en su área), calcular el área de cada uno de ellos y sumarlas...En todas las situaciones anteriores el proceso para el cálculo del área es relativamente simple, sin embargo cuando tenemos una figura como la siguiente en la cual uno o varios de sus lados que limitan la región en la cual queremos calcular el área son curvas, no tenemos un proceso claro.
La gráfica corresponde a la función
Por lo tanto debemos proponer intuitivamente un proceso similar a la triangulación (explicada en el primer párra
fo de este artículo), es decir, vamos a "rectangular" el área... Este método consiste en trazar varios rectángulos que aproximen el área de la región deseada, esto lo podemos ver en las siguientes gráfica...
fo de este artículo), es decir, vamos a "rectangular" el área... Este método consiste en trazar varios rectángulos que aproximen el área de la región deseada, esto lo podemos ver en las siguientes gráfica...En ambas gráficas podemos ver que el área calculada va a tener pequeños 
márgenes de error, en la primera (rectángulos amarillos) vemos que estamos calculando un área mayor mientras que en la segunda (rectángulos verdes) calculamos un área menor...
márgenes de error, en la primera (rectángulos amarillos) vemos que estamos calculando un área mayor mientras que en la segunda (rectángulos verdes) calculamos un área menor...En ambas situaciones podemos identificar que la base de todos los rectángulos es de 0.25 unidades mientras que la altura es fácil de obtener usando un simple evaluación de funciones:
Significado de la Integral Definida
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral
es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.
La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.
Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.
La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.
Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.
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